Diagramme de Bode

Le diagramme de Bode est un moyen de représenter le comportement fréquentiel d'un dispositif. Il permet une résolution graphique simplifiée, surtout pour l'étude des fonctions de transfert de dispositifs analogiques.

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Version HTML... est asservie à la tension x à enregistrer au moyen du système suivant :... 1) Donner selon A l'expression de sa transmittance en boucle ouverte T (p) = Xr (p) /E (p)... Pour A = 1, on a tracé le diagramme de Bode du dispositif en boucle ouverte T (p) = A. G (p)..... Le diagramme de Bode est le suivant :... (source : data3.blog)
Un dispositif asservi est un dispositif commandé possédant un système de retour servant à ...... 3) Pour 3 valeurs de l'augmentcation A = 27, 270 et 2700, on a tracé.... Le diagramme de Bode est le suivant :... (p) selon V... (source : louis-armand.uha)

Le diagramme de Bode est un moyen de représenter le comportement fréquentiel d'un dispositif. Il permet une résolution graphique simplifiée, surtout pour l'étude des fonctions de transfert de dispositifs analogiques. Il est utilisé pour les propriétés de marge de gain, marge de phase, gain continu, Bande passante, rejet des perturbations et stabilité des dispositifs.

Définition

Le diagramme de Bode d'un dispositif de réponse fréquentiel $H(j\omega)\$ se compose de deux tracés :

le gain (ou amplitude) en décibels (dB). Sa valeur est calculée à partir de $20\log_{10}{(|H(j\omega)|)}\$ .
la phase en degré, donnée par $\arg{(H(j\omega))}\$

L'échelle des pulsations est logarithmique et est exprimée en rad/s (radian par seconde). L'échelle logarithmique permet un tracé particulièrement lisible, car composé surtout de tronçons linéaires.

Diagramme de Bode du filtre passe-bas passif d'ordre 1. En pointillés rouges, l'approximation linéaire.

Tracé asymptotique des dispositifs analogiques

Prenons une fonction de transfert quelconque qui s'écrit de la façon suivante :

$H(p)=\alpha pˆq \frac{\prod_{k=1}ˆK \left(1+2\xi_k\frac{p}{\omega_k}+\left(\frac{p}{\omega_k}\right)ˆ2\right)\prod_{l=1}ˆL \left(1+\frac{p}{\omega_l}\right)}{\prod_{m=1}ˆM \left(1+2\xi_m\frac{p}{\omega_m}+\left(\frac{p}{\omega_m}\right)ˆ2\right)\prod_{n=1}ˆN \left(1+\frac{p}{\omega_n}\right)}$

où $\alpha \in \mathbb R\ ;\ q \in \mathbb Z\ ;\ \omega_k,\omega_l,\omega_m,\omega_n \in \mathbb Rˆ*\ ;\ \xi_k,\xi_m \in \mathbb R\$

Quoiqu'une fonction de transfert puisse s'écrire de plusieurs façons, c'est de la façon décrite ci-dessus qu'il faut les écrire :

les termes constants des polynômes élémentaires du premier et du second degré doivent valoir $1$ . Pour cela utiliser la constante $α$ .
Les termes en $p$ des polynômes élémentaires du premier et du second degré doivent être au numérateur. (voir la réécriture de la fonction Passe-haut ci-dessous)

On remarque que le module de $H(p)\$ est identique à la somme des modules des termes élémentaires en raison du logarithme. Il en va de même pour la phase, cette fois à cause de la fonction argument. C'est pourquoi on va tout d'abord s'intéresser aux diagrammes de Bode des termes élémentaires.

Passe-bas

Définition

Soit la fonction de transfert :

$H(p)=\frac{1}{1+\frac{p}{\omega_0}}\$

La pulsation $\omega_0\$ est nommée pulsation de coupure.

Tracé asymptotique

Pour $\omega \ll \omega_0,\ H(j\omega)\approx 1\$ par conséquent $|H_{dB}(j\omega)|=0\$ et $\arg{(H(j\omega))}=0ˆ\circ\$ .

Pour $\omega \gg \omega_0,\ H(j\omega)\approx -j\frac{\omega_0}{\omega}\$ par conséquent $|H_{dB}(j\omega)|=-20\log_{10}(\omega)+20\log_{10}(\omega_0)\$ et $\arg{(H(j\omega))}=-90ˆ\circ\$ .

Dans un repère logarithmique, $|H_{dB}(j\omega)|\$ se traduit par une pente de -20dB/Décade ou encore -6dB/Octave. On parle aussi de pente -1. Le diagramme de Bode asymptotique du module se résume par conséquent à deux tronçons linéaires.

Tracé réel

en $\omega_0\$ , $H(j\omega_0)=\frac{1}{1+j}$ soit $|H_{db}(j\omega_0)|=-20\log_{10}(\sqrt{2})=-10\log_{10}(2)$ : la courbe passe 3dB en dessous de l'asymptote.

Passe-haut

Soit la fonction de transfert :

$H(p)=\frac{1}{1+\frac{\omega_0}{p}} = \frac{\frac{p}{\omega_0}}{1+\frac{p}{\omega_0}}$

Le tracé s'obtient en prenant l'opposé du module en dB et de la phase du passe-bas.

Passe-bas

Définition

Soit la fonction de transfert :

$H(p)=\frac{1}{1+2\xi\frac{p}{\omega_0}+\left(\frac{p}{\omega_0}\right)ˆ2}\$

La pulsation $\omega_0\$ est nommée pulsation propre et $\xi\$ est l'amortissement.

Tracé asymptotique

Pour $\omega \ll \omega_0\ H(j\omega)\approx 1\$ par conséquent $|H_{dB}(j\omega)|=0\$ et $\arg{(H(j\omega))}=0ˆ\circ\$ .

Pour $\omega \gg \omega_0\ H(j\omega)\approx \left(\frac{\omega_0}{\omega}\right)ˆ2\$ par conséquent $|H_{dB}(j\omega)|=-40\log_{10}(\omega)+40\log_{10}(\omega_0)\$ et $\arg{(H(j\omega))}=-180ˆ\circ\times \operatorname{signe(\omega_0\xi)}\$ .

Dans un repère logarithmique, $|H_{dB}(j\omega)|\$ se traduit par une pente de -40dB/Décade ou encore -12dB/Octave. On parle aussi de pente -2. Le diagramme de Bode asymptotique du module se résume par conséquent à deux tronçons linéaires.

Tracé réel

Quand $\xi<\frac{\sqrt{2}}{2}\$ , le dispositif présente une résonance de module $|H(j\omega)|_{max}=\frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xiˆ2}}\$ en $\omega=\omega_0\sqrt{1-2\xiˆ2}\$ .

Passe-haut

$H(p)=\frac{\frac{p}{\omega_0}}{1+2\xi\frac{p}{\omega_0}+\left(\frac{p}{\omega_0}\right)ˆ2}\$

Le tracé s'obtient en prenant l'opposé du module en dB et de la phase du passe-bas.

retour au cas général

Comme nous l'avons fait remarquer plus haut, on pourrait additionner l'ensemble des diagrammes de Bode des termes élémentaires pour obtenir le diagramme de la fonction de transfert $H(p)\$ .

Cependant, quand cette fonction de transfert est compliquée, il est plus facile de prendre en compte les contributions de chaque terme au fur et à mesure en faisant croître la pulsation $\omega\$ .

Au début, quand $\omega\rightarrow 0\$ , l'asymptote du module est une droite de pente q (q*20dB/Décade) et la phase est constante à $q \times 90ˆ\circ\$ . Par la suite, à chaque fois qu'on rencontre une pulsation, on modifie le tracé selon la procédure suivante :

Pour $\omega=\omega_k\$ on rajoute +2 à la pente du module (+40dB/Décade) et $180ˆ\circ\times \operatorname{signe(\omega_k\xi_k)}\$ à la phase.
Pour $\omega=\omega_l\$ on rajoute +1 à la pente du module (+20dB/Décade) et $90ˆ\circ \times \operatorname{signe(\omega_l)}\$ à la phase.
Pour $\omega=\omega_m\$ on rajoute -2 à la pente du module (-40dB/Décade) et $-180ˆ\circ \times \operatorname{signe(\omega_m\xi_m)}\$ à la phase.
Pour $\omega=\omega_n\$ on rajoute -1 à la pente du module (-20dB/Décade) et $-90ˆ\circ \times \operatorname{signe(\omega_n)}\$ à la phase.

Limitation du domaine des pulsations

Nous disposons cette fois d'une fonction de transfert $G(z)=\mathcal{Z}\{g(n)\}\$ d'un dispositif discret.

Pour obtenir son diagramme de Bode, il faut évaluer la fonction sur le cercle unité.

C'est à dire, $z=eˆ{2\pi j\nu} \$ avec $\nu \in \left[0;\frac{1}{2}\right]$ (on obtient le cercle complet par symétrie).

Si le dispositif discret a été obtenu à partir de l'échantillonnage à la période T d'un dispositif continu, alors $z=eˆ{j\omega T} \$ avec $\omega \in \left[0;\frac{\pi}{T}\right]$ .

De plus, les relations $|G(z)|_{z=eˆ{2\pi j\nu}}\$ et $\operatorname{arg(G(z)_{z=eˆ{2\pi j\nu}})}\$ ne sont pas rationnelles en $\nu\$ . Par conséquence, l'étude du tracé est compliquée et nécessite des moyens informatiques.

Transformation bilinéaire

Cependant, il existe une application servant à se ramener au cas continu :

$z=\frac{\frac{2}{T}+w}{\frac{2}{T}-w}\$

ou la fonction réciproque $w=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}\$

Il s'agit d'une transformée de Möbius.

Cette transformation fait correspondre l'axe imaginaire $w=j\Omega\$ du domaine continu avec le cercle unité $z=eˆ{j\omega T}\$ du domaine discret avec $\omega=\frac{2}{T}\operatorname{arctan \left(\frac{T \Omega}{2}\right)}\$ .

Or, quand $\omega T\ll 1$ , on a $\omega\approx\Omega\$ , auquel cas on se retrouve dans le cas continu d'une fraction rationnelle à étudier. On peut alors se ramener à une étude classique des dispositifs analogiques sur $\omega \in \left[0;\frac{\pi}{T}\right]$ en sachant que les valeurs du diagramme près de $\omega= \frac{\pi}{T}\$ sont entachées d'une erreur.

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